Kalkulus 1 - Limit Bilangan e & Limit Trigonometri

A. LIMIT BILANGAN EULER

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi domain bilangan asli misalkan diberikan fungsi

Dengan n bilangan asli

Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu

Untuk n→∞$n\to \mathrm{\infty }$, ditulis

Bilangan rasional 2,7172818... selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf e . bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus

Kesimpulan :

Modifikasi Limit Euler

Teorema berikut sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan mengenai penentuan nilai limit euler

Teorema 1 : Limit Euler

Contoh Soal :

Tentukan

Penyelesaian 

Apabila berturut-turut diambil

Berdasarkan Teorema diatas diperoleh

B. LIMIT TRIGONOMETRI

Pengertian Limit Trigonimetri

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema. Jadi, apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang paling mendekati nya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Dalam menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat berbagai cara yang bisa dipakai :

• Metode Numerik
• Subtitusi
• Pemfaktoran
• Kali Sekawan
• Menggunakan Turunan

Macam – Macam Trigonometri

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas di rumus trigonometri pada artikel sebelumnya, berikut ialah nama-nama trigonometri yang kita kenal :

• Cosinus (cos)
• Sinus (sin)
• Cosecan (Csc)
• Tangen (tan)
• Cotongen (cot)
• Secan (sec)

Rumus Limit Trigonometri

Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c bisa secara mudah didapat dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometrinya. Persamaan rumus limit fungsi trigonometri seperti pada gambar di bawah ini :

Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> c :

Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati 0 (Nol)

Dalam pembahasan ini, ada berbagai rumus yang bida disebut sebagai “properti” untuk menyelesaikan soal – soal limit trigonometri. Kumpulan properti tersebut bisa dilihat pada daftar rumus limit trigonometri yang diberikan di bawah ini

Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> 0 :

Teorema Limit Trigonometri

Ada beberapa teorema yang bisa dipakai untuk menyelesaikan persoalan limit trigonometri yaitu :

1. Teorema A

Teorema di atas hanya berlaku saat (x -> 0) .

2. Teorema B

Ada beberapa teorema yang berlaku. Pada setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya pada soal limit fungsi pada trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya ialah berupa sudut sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Untuk itu perlu mengetahui nilai-nilai sudut istimewa yang telah disajikan tabel istimewa di bawah ini :

Contoh Soal :

Selesaikan limit trigonometri berikut :

Penyelesaian :

Melihat bentuk limit pada soal di atas kita dapat langsung mensubtitusikan nilai x.

Kalkulus 1 - Limit Fungsi

 PENGERTIAN LIMIT

Limit f(x) mendekati c sama dengan L, ditulis:

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tetapi x≠c, f(x) mendekati L

KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

Limit bisa diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak bisa dicapai. Pada bahasa matematika, keadaan ini biasa disebut limit. Kenapa harus ada limit? karnalimit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati.

Kenapa harus didekati? karena pada suatu fungsi biasanya tak terdefinisi pada suatu titik tertentu. Meskipun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, Akan tetapi masih bisa dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

SIFAT LIMIT FUNGSI

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

MACAM-MACAM METODE PENYELESAIAN LIMIT ALJABAR :

1. Metode Subitusi

2. Metode Pemfaktoran

3. Metode Membagi Dengan Pangkat Tertinggi Penyebut

4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan

Penjelasan :

1. Metode Subtitusi

Metode subsitusi hanya mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya

Contoh Soal :

2. Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran dipakai jika metode subsitusi yang menghasilkan nilai limit tidak terdefinisikan

Contoh Soal :

Metode pemfaktoran dilakukan dengan menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya.

Dengan kaitanya pada bentuk limit kedua ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan

3. Metode Membagi Dengan Pangkat Tertinggi Penyebut

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal :

4. Metosde Membagi Dengan Pangkat Tertinggi

Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xⁿ  berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi  f(x) dan g(x).

Contoh Soal :

Tentukanlah nilai limit fungsi aljabar dari :

Besar pangkat panyebut dan pembilang dalam soal yaitu 2 jadi :

Maka nilai limit fungsi aljabar adalah