Kalkulus 1 - Limit Bilangan e & Limit Trigonometri

A. LIMIT BILANGAN EULER

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi domain bilangan asli misalkan diberikan fungsi

Dengan n bilangan asli

Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu

Untuk n→∞$n\to \mathrm{\infty }$, ditulis

Bilangan rasional 2,7172818... selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf e . bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus

Kesimpulan :

Modifikasi Limit Euler

Teorema berikut sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan mengenai penentuan nilai limit euler

Teorema 1 : Limit Euler

Contoh Soal :

Tentukan

Penyelesaian 

Apabila berturut-turut diambil

Berdasarkan Teorema diatas diperoleh

B. LIMIT TRIGONOMETRI

Pengertian Limit Trigonimetri

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema. Jadi, apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang paling mendekati nya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Dalam menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat berbagai cara yang bisa dipakai :

• Metode Numerik
• Subtitusi
• Pemfaktoran
• Kali Sekawan
• Menggunakan Turunan

Macam – Macam Trigonometri

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas di rumus trigonometri pada artikel sebelumnya, berikut ialah nama-nama trigonometri yang kita kenal :

• Cosinus (cos)
• Sinus (sin)
• Cosecan (Csc)
• Tangen (tan)
• Cotongen (cot)
• Secan (sec)

Rumus Limit Trigonometri

Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c bisa secara mudah didapat dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometrinya. Persamaan rumus limit fungsi trigonometri seperti pada gambar di bawah ini :

Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> c :

Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati 0 (Nol)

Dalam pembahasan ini, ada berbagai rumus yang bida disebut sebagai “properti” untuk menyelesaikan soal – soal limit trigonometri. Kumpulan properti tersebut bisa dilihat pada daftar rumus limit trigonometri yang diberikan di bawah ini

Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> 0 :

Teorema Limit Trigonometri

Ada beberapa teorema yang bisa dipakai untuk menyelesaikan persoalan limit trigonometri yaitu :

1. Teorema A

Teorema di atas hanya berlaku saat (x -> 0) .

2. Teorema B

Ada beberapa teorema yang berlaku. Pada setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya pada soal limit fungsi pada trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya ialah berupa sudut sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Untuk itu perlu mengetahui nilai-nilai sudut istimewa yang telah disajikan tabel istimewa di bawah ini :

Contoh Soal :

Selesaikan limit trigonometri berikut :

Penyelesaian :

Melihat bentuk limit pada soal di atas kita dapat langsung mensubtitusikan nilai x.