Kalkulus 1 - Aturan Rantai

ATURAN RANTAI

Pengertian Aturan Rantai 

aturan rantai meruapakan aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi. aturan ini membantu menyelesaikan turunan fungsi yang terdiri dari komposisi dua fungsi atau lebih . cara menyelesaikannya adalah memecah komposisi fungsi tersebut menjadi beberapa peubah komposisi fungsi yang viasanya diturunkan dengan aturan rantai adalah bentuk pangkat dari fungsi aljabar yang terdiri dari beberapa suku.

Aturan Rantai :

jika f dan g merupakan fungsi yang dapat diderefensialkan (turunkan) F = f o g adalah fungsi dengan definisi f(x) = f(g(x)). maka F dapat diderensialkan menjadi sebagai berikut

F'(x) = f'(g(x))g'(x)

apabila y = f(u) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap u dan u = g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x , y=f(g(x)) atau y=(fog) dapat diturunkan dengan aturan sebagai berikut :

Contoh Soal :

misal u = 3x-2

penyelesain :

dengan menggunakan aturan rantai , turunan fungsi f(x) = (3x-2)⁷ adalah sebagai berikut :

y = f(x) = (3x-2)⁷

misal u = 3x-2

y = u⁷

Contoh Soal penggunaan aturan rantai utnuk menyelesaikan turunan fungsi trigonometri

y = sin³(2x-3)

u = u³ 

v = 2x-3

Kalkulus 1 - Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI

Pengertian Turunan

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.

Turunan Dasar

beberapa aturan dalam turunan fungsi antara lain :

1. f(x), menjadi f'(x) = 0

2. jika f(x) = x, maka f'(x) = 1

3. aturan pangkat berlaku jika  f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X^n-1

4. aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k.f'(x)

5. aturan rantai berlaku jika (f o g) (x) = f'(g(x)).g'(x))

Rumus - rumus turunan fungsi Aljabar

1. Rumus turunan fungsi pangkat f(x) = xⁿ

     ^{fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus} 

     

    ^{jadi rumus turunan pangkat adalah :}

^{2. Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x).v(x)}

    ^{fungsi f(x) yang berbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan :}

    ^{jadi rumus turunan fungsinya adalah :}

3. Rumus turunan fungsi pembagian 

    

  sehingga 

    jadi rumus turunan fungsinya adalah

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi f(x) = (u(x))ⁿ

    ^{ingat jika f(x) =} x^{n , maka :}

    ^{karena f(x) =}  (u(x))^{n  =} u^{n , maka :}

    ^atau

   ^{jadi rumus turunan fungsinya adalah :}

Rumus - Rumus Turunan Trigonometri

dengan menggunakan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumusn turunan trigonometri berikut (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x)

CONTOH SOAL :

1. contoh soal turunan fungsi aljabar

    turunan pertama dari 

    pembahasan :

    soal ini merupakan fungsi yang berbentuk y = auⁿyang dapat diselesaikan dengan  

    menggunakan

    rumus   y' = n.a.u^n-1 . u' maka : 

    

    ^{sehingga turunannya :}

^{2. contoh soal turunan fungsi aljabar}

    ^{tentukan turunan pertama dari :}

    ^{pembahasan 2:}

    ^{untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu} 

   dan juga 
 
x

    

   ^sehingga 

Kalkulus 1 - Kontinuitas Fungsi

KONTINUITAS SUATU FUNGSI

Definisi :
misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. kita katakan bahwa f kontinu c jika

Syarat :
1.

2. f(c) ada ( c berada dalam daerah asal f)
3.
 

Kasus - kasus suatu fungsi tak diskontinu :
1. terdapat lubang (hole)
2. terdapat loncatan (jump)
3. terdapat asimptot

Contoh Soal :
Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut :

Apakah f kontinu di x = 3?

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3

Limit kiri:

limit kanan :

Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.

Kita simpulkan

dan 

Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3

Dari pendefinisian f, f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 2

Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya

Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa

Kesimpulan:  

f tidak kontinu (atau diskontinu) di x = 3. 

Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar di bawah ini

Catatan:

Diskontinuitas di x = 3 pada Contoh 1 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dengan mendefinisikan kembali nilai f di x = 3, fungsi tersebut menjadi kontinu. Jadi, agar f kontinu di x = 3, kita definisikan f(3) = 4.