Kalkulus 1 - Aplikasi Fungsi Turunan

Aplikasi turunan merupakan suatu konsep matematika pengukuran atas bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan nilai input. Atau secara umum turunan menunjukkan tentang bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lain.

Materi Aplikasi Turunan

Pada materi aplikasi turunan kita akan mendapati beberapa bentuk turunan. Bentuk turunan tersebut diantaranya yaitu turunan pertama, turunan kedua dan turunan fungsi trigonometri. Berikut penjelasannya untuk Anda :

Turunan pertama

Semisal y adalah fungsi dari x atau dapat ditulis juga bahwa y = f (x). Sehingga turunan dari y terhadap x dinotasikan dengan konsep rumus berikut ini :

Dengan memanfaatkan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus turunan yang meliputi :

1.Jika diketahui y = Cxn dimana C dan juga n merupakan suatu bentuk konstanta real, maka dy : dx = Cnxn – 1

2.Jika diketahui y = C dan C merupakan elemen R maka dy : dx = 0

3.Untuk y = f (x) + g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x + g aksen sehingga x atau dalam rumus = f’(x) + g’ (x)

4.Untuk y = f (x) . g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x . g sehingga x + g aksen sehingga x . f sehingga x atau dalam rumus f’ (x) . g (x) + g’ (x) . f (x)

Turunan kedua 

Turunan kedua dari y = f (x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut ini :

Turunan kedua dari aplikasi turunan merupakan bentuk turunan yang didapatkan dengan menurunkan kembali turunan yang pertama. Anda dapat memperhatikan contoh di bawah ini :

Turunan kedua ini juga bisa digunakan antaranya untuk keperluan :

1.Penentuan gradient garis singgung suatu kurva

2.Penentuan apakah suatu interval akan naik atau turun

3.Penentuan nilai maksimum dan nilai minimum suatu kurva

Kalkulus 1 - Bentuk Tak Tentu 2

Dalam Matematika, Konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga atau dari suatu baris saat indeks mendekati tak hingga. 

Pada Limit terdapat limit bentuk tentu dan limit bentuk tak tentu. Pada postingan kali ini akan diberikan ringkasan padat jelas tentang Limit bentuk tak tentu dan beberapa contoh soal

Macam macam bentuk tak tentu 

Cara penyelesaian

Menggunakan : 

• Subtitusi
•  Perkalian akar sekawan
• L’Hopital ( penurunan )

Tips :

untuk suatu limit fungsi disubtitusikan menghasilan bentuk 0 ,  ∞ ,  atau ∞/∞ , maka fungsi tersebut harus terlebih dahulu diubah   menjadi bentuk

Kemudian limit fungsi tersebut dapat diselesaikan menggunakan L’Hopital.

Trik :

Contoh Soal 

Nomo 1 :

Nomor 2

Nomor 3

Nomor 4

Kalkulus 1 - Bentuk Tak Tentu

Bentuk Tak Tentu

Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi.

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :

1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk 0/0

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Kalkulus 1 - Aturan Rantai

ATURAN RANTAI

Pengertian Aturan Rantai 

aturan rantai meruapakan aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi. aturan ini membantu menyelesaikan turunan fungsi yang terdiri dari komposisi dua fungsi atau lebih . cara menyelesaikannya adalah memecah komposisi fungsi tersebut menjadi beberapa peubah komposisi fungsi yang viasanya diturunkan dengan aturan rantai adalah bentuk pangkat dari fungsi aljabar yang terdiri dari beberapa suku.

Aturan Rantai :

jika f dan g merupakan fungsi yang dapat diderefensialkan (turunkan) F = f o g adalah fungsi dengan definisi f(x) = f(g(x)). maka F dapat diderensialkan menjadi sebagai berikut

F'(x) = f'(g(x))g'(x)

apabila y = f(u) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap u dan u = g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x , y=f(g(x)) atau y=(fog) dapat diturunkan dengan aturan sebagai berikut :

Contoh Soal :

misal u = 3x-2

penyelesain :

dengan menggunakan aturan rantai , turunan fungsi f(x) = (3x-2)⁷ adalah sebagai berikut :

y = f(x) = (3x-2)⁷

misal u = 3x-2

y = u⁷

Contoh Soal penggunaan aturan rantai utnuk menyelesaikan turunan fungsi trigonometri

y = sin³(2x-3)

u = u³ 

v = 2x-3

Kalkulus 1 - Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI

Pengertian Turunan

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.

Turunan Dasar

beberapa aturan dalam turunan fungsi antara lain :

1. f(x), menjadi f'(x) = 0

2. jika f(x) = x, maka f'(x) = 1

3. aturan pangkat berlaku jika  f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X^n-1

4. aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k.f'(x)

5. aturan rantai berlaku jika (f o g) (x) = f'(g(x)).g'(x))

Rumus - rumus turunan fungsi Aljabar

1. Rumus turunan fungsi pangkat f(x) = xⁿ

     ^{fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus} 

     

    ^{jadi rumus turunan pangkat adalah :}

^{2. Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x).v(x)}

    ^{fungsi f(x) yang berbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan :}

    ^{jadi rumus turunan fungsinya adalah :}

3. Rumus turunan fungsi pembagian 

    

  sehingga 

    jadi rumus turunan fungsinya adalah

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi f(x) = (u(x))ⁿ

    ^{ingat jika f(x) =} x^{n , maka :}

    ^{karena f(x) =}  (u(x))^{n  =} u^{n , maka :}

    ^atau

   ^{jadi rumus turunan fungsinya adalah :}

Rumus - Rumus Turunan Trigonometri

dengan menggunakan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumusn turunan trigonometri berikut (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x)

CONTOH SOAL :

1. contoh soal turunan fungsi aljabar

    turunan pertama dari 

    pembahasan :

    soal ini merupakan fungsi yang berbentuk y = auⁿyang dapat diselesaikan dengan  

    menggunakan

    rumus   y' = n.a.u^n-1 . u' maka : 

    

    ^{sehingga turunannya :}

^{2. contoh soal turunan fungsi aljabar}

    ^{tentukan turunan pertama dari :}

    ^{pembahasan 2:}

    ^{untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu} 

   dan juga 
 
x

    

   ^sehingga 

Kalkulus 1 - Kontinuitas Fungsi

KONTINUITAS SUATU FUNGSI

Definisi :
misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. kita katakan bahwa f kontinu c jika

Syarat :
1.

2. f(c) ada ( c berada dalam daerah asal f)
3.
 

Kasus - kasus suatu fungsi tak diskontinu :
1. terdapat lubang (hole)
2. terdapat loncatan (jump)
3. terdapat asimptot

Contoh Soal :
Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut :

Apakah f kontinu di x = 3?

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3

Limit kiri:

limit kanan :

Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.

Kita simpulkan

dan 

Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3

Dari pendefinisian f, f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 2

Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya

Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa

Kesimpulan:  

f tidak kontinu (atau diskontinu) di x = 3. 

Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar di bawah ini

Catatan:

Diskontinuitas di x = 3 pada Contoh 1 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dengan mendefinisikan kembali nilai f di x = 3, fungsi tersebut menjadi kontinu. Jadi, agar f kontinu di x = 3, kita definisikan f(3) = 4.