Kalkulus 1 - Pertidaksamaan Nilai Mutlak

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Pengertian

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandungnilai mutlak. Nilai mutlak menghitung jarak suatu angka dari 0—misal, x. mengukur jarak x dari nol

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. dan digambarkan dengan |x| . secara formal nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Untuk mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak cukup mudah. Dengan mengikuti 2 aturan penting seperti yang telah dibahas sebelumnya sudah dapat menentukan nilai mutlaknya. Jadi, nilainya akan positif jika fungsi di dalam tanda mutlak lebih dari nol. Dan akan bernilai negatif kalau fungsi di dalam tanda mutlak kurang dari nol.

Dalam pertidaksamaan nilai mutlak tidak cukup dengan cara tersebut. Ada beberapa pertidaksamaan aljabar yang ekuivalen dengan pertidaksamaan nilai mutlak. Ataupun dapat disebut saja sebagai sifat pertidaksamaan nilai mutlak.

Sifat inilah yang dapat dipakai untuk menentukan himpunan penyelesaian pada soal-soal pertidaksamaan nilai mutlak yang diberikan.

Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut :

Langkah-langka Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak didalamnya. Nilai mutlak menghitung jarak pada suatu angka dari 0—misal, |x| mengukur jarak x dari nol.

Pertidaksamaan nilai mutlak bisa didapatkan dan di terapkan dalam simetri, batas-batas simetris, ataupun kondisi batas. Pahami dan selesaikanlah jenis-jenis pertidaksamaan ini dengan beberapa langkah yang sederhana, baik dengan cara evaluasi ataupun transformasi.

Langkah 1
Evaluasi bentuk pertidaksamaan nilai mutlak. Seperti yang sudah disebutkan di atas, nilai mutlak x, yang dinotasikan dengan |x|, didefinisikan sebagai berikut ini :

Pertidaksamaan nilai mutlak umumnya mempunyai salah 1 bentuk berikut :

|x| < a atau |x|> a ; |x±a| < b atau |x±a| > b ; |ax2+bx| < c

Pada artikel ini, fokusnya adalah pertidaksamaan dengan bentuk |f(x)|< a maupun |f(x)| > a , dengan f(x) berupa fungsi apapun dan a adalah kosntanta.

Langkah 2
mengubah dahulu pertidaksamaan nilai mutlak hingga menjadi pertidaksamaan biasa. Ingat bahwa nilai mutlak dari x bisa bernilai x positif maupun x negatif. Pertidaksamaan nilai mutlak |x| < 3 juga bisa diubah jadi 2 pertidaksamaan: -x < 3 dan x < 3.

Contoh :

│x−3│>5 bisa dirubah menjadi – (x-3) > 5 atau x-3 > 5.
|3x+2| < 5 bisa dirubah menjadi – (3x+2) < 5 atau 3x+2 < 5.
Istilah “atau” diatas memiliki arti bahwa kedua pertidaksamaan itu memenuhi persyaratan soal nilai mutlak.

Langkah 3
Kita abaikan saja tanda pertidaksamaan ketika mencari nilai x untuk persamaan yang pertama. Jika membantu, ubah saja tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan hingga bagian akhir hanya untuk sementara.

Langkah 4
Cari nilai x seperti yang biasa di lakukan. Ingat bahwa jika membagi dengan angka negatif untuk menyendirikan x ke salah 1 sisi dari tanda pertidaksamaan, harus membalik tanda pertidaksamaannya.

Contohnya, jika membagi kedua sisi dengan -1, -x > 5 bisa menjadi x < -5.

Langkah 5
Tulis himpunan penyelesaiannya. Dari nilai diatas, perlu menulis jangkauan nilai yang bisa disubstitusikan ke x. Jangkauan nilai ini sering juga dikenal sebagai himpunan penyelesaian.

Karena harus menyelesaikan dua pertidaksamaan dari pertidaksamaan nilai mutlak tersebut, maka akan mempunyai 2 penyelesaian.

Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

|x + 5| > |x-2|

Penyelesaian :

Nilai Mutlak

NILAI MUTLAK

PENGERTIAN

Pertidaksamaan nilai mutlak sebuah persamaan yang selalu bernilai positif. Pertidaksamaan nilai mutlak ialah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai positif

RUMUS PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Nilai mutlak dari bilangan real x , dinotasikan dengan |a| , didefinisikan sebagai 

Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

Beberapa sifat dasar dari nilai mutlak bilangan real diantaranya :

• |x|  0
• |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0
• |xy| = |x||y|
• |x/y| = |x/y|, asalkan y  0

Salah satu sifat penting pada nilai mutlak yang banyak digunakan dalam konsep matematika maupun penerapannya adalah sifat ketidaksamaan segitiga berikut :

Untuk setiap bilangan real x , y berlaku

• ||x| - |y|| |x + y|  |x| + |y|
• ||x| - |y|| |x + y|  |x| + |y|

Lebih lanjut, dalam kaitannya dengan sembarang bilangan real diperoleh sifat berikut ini

Jika a  0 , maka

• |x| = a  jika dan hanya jika x = a atau x = -a
• |x|  a jika dan hanya jika -a  x  a
• |x| < a jika dan hanya jika -a < x < a
• |x| a jika dan hanya jika x  -a atau x  a
• |x| >  jika dan hanya jika x >  -a atau x > a

Lebih baik, untuk setiap bilangan real x dan y

• |x| |y| jika dan hanya jika x² y²

Secara sederhana , makna dari |x| adalah jarak antara titik x dengan titik 0.

Secara umum, makna dari |x-y| adalah jarak antara titik x dengan titik y

Masalah umum :

Tentukan solusi dari

|ax + b| = k ; k  0

Untuk menyelesaikan masalah |ax + b| = k untuk k  0 adalah

|ax + b| = k <--> ax + b = k atau ax + b = -k

CONTOH SOAL :

|2x - 3| < 5
|2x - 3| < 5 <--> -5 < 2x - 3 < 5
                      <--> -2 < 2x < 8
                      <--> -1 < x < 4
Hp = {x|x < -1 x > 4 }

Kalkulus 1 - Pertidaksamaan

PERTIDAKSAMAAN

1. Definisi Pertidaksaman

Pertidaksamaan merupakan pernyataan yang menunjukkan perbandingan ukuran dua buah objek atau lebih. Bentuk baku dari pertidaksamaan dalam notasi matematika adalah P(x) ≥ 0 , dengan P(x) merupakan suatu polinomial (tanda ≥ bisa juga digantikan dengan ≤ , < , atau >). Contoh pertidaksamaan diantaranya , x2 – 2x + 1 ≥ 0 atau x – 2 < 0 , atau atau  

 dan lain sebagainya.

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan

Pertidaksamaan juga punya sifat- sifat , diantaranya :

Jika a < b maka a + c < b + c

Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d

Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc

Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc

Jika 0 < a < b maka 1/b < 1/a

3. Solusi Penyelesaian Pertidaksamaan

Untuk menentukan solusi dari pertidaksamaan, kita gunakan sifat-sifat dari pertidaksamaan sebelumnya yakni dengan :

• Mengubah pertidaksamaan tersebut ke dalam bentuk baku
• Menambah bilangan yang sama pada kedua ruas
• Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas
• Mengalikan bilangan negatif pada kedua ruas dengan syarat arah dari tanda pertidaksamaannya harus dibalik

4. Jenis Pertidaksamaan

a) Pertidaksamaan linear (pangkat satu) 

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linear dalam x . yang variablenya berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”

Sifat-sifatnya :

• Kedua ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama
• Kedua ruas dapat di kali atau di bagi dengan bilangan positif yang sama
• Kedua ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatif yang sama maka penyelesainnya tidak berubah asal saja araj dari tanda pertidaksamaan dibalik

Langkah-langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Linier :

• Pindahkan semua yang mengandung variable ke ruas krii , sedangkan yang tidak mengandung variable ke ruas kanan
• Kemudian sederhanakan

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksmaan 5x – 5 < 7x + 3

Penyelesaian :

5x – 5 < 7x + 3

5x – 7x < 3 + 5

-2x < 8

x > -4

b) Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variablenya adalah 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrta adalah ax² + bx + c > 0 dengan a,b,c konstanta ; a 0.

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat antara lain :

• Jadikan ruas kanan = o
• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan tergambarkan pada garis bilangan (bila dinyatakan > 0 maka yang dimaksud adalah daerah + , bila ditanyakan < 0 maka yang dimaksud adalah daerah – )

Langkah – langkah penyelesaian :

• Tentukan batas-batasnya dengan mengubah ke dalam persamaan kuadrat
• Buatlah garis bilangan dan masukkan batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri)
• Uji titik pada masing-masing daerah
• Tentukan himpunan penyelesainnya

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesain dari x² – 2x – 8 ≥ 0

Penyelesain :

x² – 2x – 8 =  0

(x-4) (x+2) = 0

x = 4 atau x = -2

karena yang diminta ≥ maka yang memenuhi adalah yang bertanda positif sehingga Himpunan Penyelesaiannya adalah (x|x ≤ -2 atau x ≥ 4}

c) Pertidaksamaan bentuk pecahan

Pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variable x

Langkah-langkah penyelesain :

• Pindahkan semua bilangan keruas kiri , jadikan ruas kanan = 0
• Sederhanakan ruas kiri
• Ubah bentuk menjadi a.b
• Tuliskan niali-nilai tersebut pada garis bilangan
• Berikan tanda pada setiap interval
• Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan
• Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat : penyebut pecahan 0

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan  

Penyelesain :

d) Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak (modus)

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan pertidaksamaan dimana variable berada di dalam tanda mutlak . indikator : menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak

Contoh Soal

tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x +2 < -5

Penyelesaian :

3x +2 < -5

3x < - 7

X < -7 / 3

Kalkulus 1 - Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Riil

Sistem bilangan ril merupakan himpunan bilangan ril operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasanya bilangan ril dinyatakan dengan lambar R. Operasi aljabar sering dinyatakan dengan operasi penjumlahan dan perkalian saja. Hal ini disebabkan operasi pengurangan dapat digantikan dengan operasi penjumlahan, sedangkan operasi pembagian dapat digantikan dengan operasi perkalian. Sebagai contoh jika a dan b adalah unsur bilangan ril, maka a – b dapat ditulis dalam bentuk a + (-b). Sedangkan a/b dapat ditulis dalam bentuk a . b-1 

Berdasarkan diagram tersebut, terlihat bahwa terdapat konsep bilangan lain selain bilangan ril yang dinamakan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan C dimana C = {z|z = yi, x,y ∈ R, i = √(-1) }. Lebih lanjut x disebut bagian ril dari z (Re(z)),y disebut bagian imajiner dari z (lm(z)), sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya sama dengan √(-1).

Berikut ini diberikan himpunan – himpunan penting dari sistem bilangan ril.

• Himpunan bilangan asli ; {1,2,3,...}, dinotasikan dengan N = {1,2,3,...}.
• Bilangan asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.
• Himpunan bilangan rasional; misalnya {16/2 , 2/3 , 4/2, . . .}, dinotasikan dengan Q. Secara umum, bentuk bilangan rasional ditulisakna sebagai Q = { m/n |m,n  Z, dan n ≠ 0}
• Himpunan bilangan irrasional ; misalnya (√4 , √5 , √6 , dsb }, merupakan bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n ≠ 0
• Himpunan bilangan bulat ; {....,-2 , -1, 0, 1, 2,...} dinotasikan dengan Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Bilangan ril dapat dipandang sebagai penanada untuk titik-titik yang berada di seoanjang sebuah garis bilangan. Di situ, bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0). 

Garis Bilangan Riil

Garis bilangan ril dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis mendatar. Pada garis tersebut bilangan ril mengukur jarak berarah ke kanan atau ke kiri dari suaru titik tetap yang diberi label 0

Garis tersebut dinamakan garis ril

Catatan :

- Mengatakan x < y berarti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis rill

- Pada garis rill , bilangan rill positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan rill negatif terletak di seblah kiri 0

Operasi Pada Bilangan Riil

Misalkan a, b dan c adalah bilangan ril. Maka berlaku sifat berikut :

- Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian

  Hasil operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat ril

- Komutatif terhadap penjumlaha dan perkalian

   a + b = b + a dan ac = ca

- Assosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian

  a + (b + c) = (a + b) + c dan a (bc) = (ab) c

- Distributif

   a (b + c) = ab + ac

- Memiliki elemen identitas (0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan , dan 1 adalah elemen  identitas   terhadap perkalian)

   a + 0 = 0 + a = a , dan 1a = a1 = a

- Memiliki invers

Terhadap penjumlahan; untuk setiap a ∈ R terhadap x ∈ R sedemikian sehingga x + a = a + x = 0 . dalam hal ini x = -a. Jadi, invers dari bilangan ril a terhadap operasi penjumlahan adalah -a.

Terhadap perkalian; untuk setiap a ∈ R terhadap x ∈ R sedemikian sehingga x.a = a.x = 1. Dalam hal ini x = 1/a

Dari sifat bilangan ril tersebut maka didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian sebagai a – b = a + (-b) dan  a/b = ab^-1 .