Kalkulus 1 - Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Riil

Sistem bilangan ril merupakan himpunan bilangan ril operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasanya bilangan ril dinyatakan dengan lambar R. Operasi aljabar sering dinyatakan dengan operasi penjumlahan dan perkalian saja. Hal ini disebabkan operasi pengurangan dapat digantikan dengan operasi penjumlahan, sedangkan operasi pembagian dapat digantikan dengan operasi perkalian. Sebagai contoh jika a dan b adalah unsur bilangan ril, maka a – b dapat ditulis dalam bentuk a + (-b). Sedangkan a/b dapat ditulis dalam bentuk a . b-1 

Berdasarkan diagram tersebut, terlihat bahwa terdapat konsep bilangan lain selain bilangan ril yang dinamakan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan C dimana C = {z|z = yi, x,y ∈ R, i = √(-1) }. Lebih lanjut x disebut bagian ril dari z (Re(z)),y disebut bagian imajiner dari z (lm(z)), sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya sama dengan √(-1).

Berikut ini diberikan himpunan – himpunan penting dari sistem bilangan ril.

• Himpunan bilangan asli ; {1,2,3,...}, dinotasikan dengan N = {1,2,3,...}.
• Bilangan asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.
• Himpunan bilangan rasional; misalnya {16/2 , 2/3 , 4/2, . . .}, dinotasikan dengan Q. Secara umum, bentuk bilangan rasional ditulisakna sebagai Q = { m/n |m,n  Z, dan n ≠ 0}
• Himpunan bilangan irrasional ; misalnya (√4 , √5 , √6 , dsb }, merupakan bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n ≠ 0
• Himpunan bilangan bulat ; {....,-2 , -1, 0, 1, 2,...} dinotasikan dengan Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Bilangan ril dapat dipandang sebagai penanada untuk titik-titik yang berada di seoanjang sebuah garis bilangan. Di situ, bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0). 

Garis Bilangan Riil

Garis bilangan ril dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis mendatar. Pada garis tersebut bilangan ril mengukur jarak berarah ke kanan atau ke kiri dari suaru titik tetap yang diberi label 0

Garis tersebut dinamakan garis ril

Catatan :

- Mengatakan x < y berarti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis rill

- Pada garis rill , bilangan rill positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan rill negatif terletak di seblah kiri 0

Operasi Pada Bilangan Riil

Misalkan a, b dan c adalah bilangan ril. Maka berlaku sifat berikut :

- Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian

  Hasil operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat ril

- Komutatif terhadap penjumlaha dan perkalian

   a + b = b + a dan ac = ca

- Assosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian

  a + (b + c) = (a + b) + c dan a (bc) = (ab) c

- Distributif

   a (b + c) = ab + ac

- Memiliki elemen identitas (0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan , dan 1 adalah elemen  identitas   terhadap perkalian)

   a + 0 = 0 + a = a , dan 1a = a1 = a

- Memiliki invers

Terhadap penjumlahan; untuk setiap a ∈ R terhadap x ∈ R sedemikian sehingga x + a = a + x = 0 . dalam hal ini x = -a. Jadi, invers dari bilangan ril a terhadap operasi penjumlahan adalah -a.

Terhadap perkalian; untuk setiap a ∈ R terhadap x ∈ R sedemikian sehingga x.a = a.x = 1. Dalam hal ini x = 1/a

Dari sifat bilangan ril tersebut maka didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian sebagai a – b = a + (-b) dan  a/b = ab^-1 .