Kalkulus 1 - Pertidaksamaan

PERTIDAKSAMAAN

1. Definisi Pertidaksaman

Pertidaksamaan merupakan pernyataan yang menunjukkan perbandingan ukuran dua buah objek atau lebih. Bentuk baku dari pertidaksamaan dalam notasi matematika adalah P(x) ≥ 0 , dengan P(x) merupakan suatu polinomial (tanda ≥ bisa juga digantikan dengan ≤ , < , atau >). Contoh pertidaksamaan diantaranya , x2 – 2x + 1 ≥ 0 atau x – 2 < 0 , atau atau  

 dan lain sebagainya.

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan

Pertidaksamaan juga punya sifat- sifat , diantaranya :

Jika a < b maka a + c < b + c

Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d

Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc

Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc

Jika 0 < a < b maka 1/b < 1/a

3. Solusi Penyelesaian Pertidaksamaan

Untuk menentukan solusi dari pertidaksamaan, kita gunakan sifat-sifat dari pertidaksamaan sebelumnya yakni dengan :

• Mengubah pertidaksamaan tersebut ke dalam bentuk baku
• Menambah bilangan yang sama pada kedua ruas
• Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas
• Mengalikan bilangan negatif pada kedua ruas dengan syarat arah dari tanda pertidaksamaannya harus dibalik

4. Jenis Pertidaksamaan

a) Pertidaksamaan linear (pangkat satu) 

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linear dalam x . yang variablenya berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”

Sifat-sifatnya :

• Kedua ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama
• Kedua ruas dapat di kali atau di bagi dengan bilangan positif yang sama
• Kedua ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatif yang sama maka penyelesainnya tidak berubah asal saja araj dari tanda pertidaksamaan dibalik

Langkah-langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Linier :

• Pindahkan semua yang mengandung variable ke ruas krii , sedangkan yang tidak mengandung variable ke ruas kanan
• Kemudian sederhanakan

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksmaan 5x – 5 < 7x + 3

Penyelesaian :

5x – 5 < 7x + 3

5x – 7x < 3 + 5

-2x < 8

x > -4

b) Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variablenya adalah 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrta adalah ax² + bx + c > 0 dengan a,b,c konstanta ; a 0.

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat antara lain :

• Jadikan ruas kanan = o
• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan tergambarkan pada garis bilangan (bila dinyatakan > 0 maka yang dimaksud adalah daerah + , bila ditanyakan < 0 maka yang dimaksud adalah daerah – )

Langkah – langkah penyelesaian :

• Tentukan batas-batasnya dengan mengubah ke dalam persamaan kuadrat
• Buatlah garis bilangan dan masukkan batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri)
• Uji titik pada masing-masing daerah
• Tentukan himpunan penyelesainnya

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesain dari x² – 2x – 8 ≥ 0

Penyelesain :

x² – 2x – 8 =  0

(x-4) (x+2) = 0

x = 4 atau x = -2

karena yang diminta ≥ maka yang memenuhi adalah yang bertanda positif sehingga Himpunan Penyelesaiannya adalah (x|x ≤ -2 atau x ≥ 4}

c) Pertidaksamaan bentuk pecahan

Pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variable x

Langkah-langkah penyelesain :

• Pindahkan semua bilangan keruas kiri , jadikan ruas kanan = 0
• Sederhanakan ruas kiri
• Ubah bentuk menjadi a.b
• Tuliskan niali-nilai tersebut pada garis bilangan
• Berikan tanda pada setiap interval
• Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan
• Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat : penyebut pecahan 0

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan  

Penyelesain :

d) Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak (modus)

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan pertidaksamaan dimana variable berada di dalam tanda mutlak . indikator : menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak

Contoh Soal

tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x +2 < -5

Penyelesaian :

3x +2 < -5

3x < - 7

X < -7 / 3